Линейное уравнение. Прямая и окружность

 

С линейным уравнением ах + b = 0 (а, b — заданные числа — коэффициенты уравнения, х — искомая переменная величина) мы встречаемся с первых шагов изучения курса алгебры. Если



то такое уравнение имеет единственное решение



Изучение геометрии начи нается с изучения свойств прямых и окружностей. Это не случайно. Ведь окружающий нас мир во многих своих проявлениях линеен, а окружность — одна из самых распространенных в нем линий.

Рекомендуем всем решить задачи 1—73 и варианты 1 и 2 проверочных работ (например, четные номера на занятиях с преподавателем, а нечетные — самостоятельно). Если вы решили поступить в вуз с высокими требованиями по математике, то обратите внимание на задачи 74—80 и вариант 3.

Решите уравнения 1—24. Это либо линейные, либо сводящиеся к линейным простыми преобразованиями уравнения.

Задание 1.

-4х = 5

Ответ:

-1,25

Задание 2.

Ответ:

Задание 3.

0,3х = -0,81

Ответ:

-2,7

Задание 4.

Ответ:

4

Задание 5.

Ответ:

Задание 6.

Ответ:

-0,2

Задание 7.

Ответ:

Задание 8.

Ответ:

2

Задание 9.

Ответ:

Задание 10.

Ответ:

Задание 11.

Ответ:

5

Задание 12.

Ответ:

0

Задание 13.

Ответ:

Задание 14.

Ответ:

-3

Задание 15.

Ответ:

5

Задание 16.

Ответ:

Задание 17.

Ответ:

Задание 18.

Ответ:

Задание 19.

Ответ:

0

Задание 20.

Ответ:

Задание 21.

(Зх - 1)2 - 5(2х + 1)2 + (6x - 3)(2x +1) = (х- I)2

Ответ:

Задание 22.

(x + 6)2(x + 1) - (x - 3)2 (x + 10) = (3х + 4)2

Ответ:

Задание 23.

(х + 2)3-х(х + 3)2=23

Ответ:

5

Задание 24.

(x + 2)3 - (x - 2)3 = 12(x - 2)(x + 3)

Ответ:

Следующие системы уравнений (25—30) решите, сведя их подстановками к линейным уравнениям. Текстовые задачи данной темы (31—37) также приводят к линейным уравнениям.

Задание 25.

Ответ:

(2;-1)

Задание 26.

Ответ:

(-2;3)

Задание 27.

Ответ:

(1;2;1)

Задание 28.

Ответ:

(1;2;3)

Задание 29.

Ответ:

Задание 30.

Ответ:

(2;1)

Задание 31.

Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если прибавить к нему 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это двузначное число.

Ответ:

69

Задание 32.

Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то значение дроби будет равно 0,25 Найдите дробь.

Ответ:

Задание 33.

Моторная лодка прошла против течения реки 16 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 40 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ:

10 км/ч

Задание 34.

Производительность косилки в 5 раз выше, чем производительность бригады косарей. Сколько дней потребуется бригаде косарей, чтобы скосить луг, если известно, что самоходная косилка и бригада косарей, работая вместе, смогут закончить сенокос за 3 дня?

Ответ:

18

Задание 35.

Пенсионер в начале года положил 1200 р. в два банка. В первом банке начисляли 50% годовых, а во втором — 40% Сколько рублей положил пенсионер в каждый банк, если в конце года он получил 1760 р.?

Ответ:

800 р. и 400 р.

Задание 36.

За некоторое время количество акций гражданина Иванова увеличилось на 20% . На сколько процентов увеличилась цена каждой акции гражданина Иванова, если общая стоимость всех его акций возросла на 38% ?

Ответ:

15%

Задание 37.

От кусков массой 6 кг и 12 кг двух сплавов с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком куска другого сплава, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Каковы массы каждого из отрезанных кусков?

Ответ:

4 кг.

Более полно системы уравнений и текстовые задачи рассматриваются в соответствующих темах. Перейдем к Заданием, связанным с построением прямых и окружностей на плоскости.

• Уравнение
ах + by + с = 0,
в котором хотя бы один из коэффициентов а или b отличен от нуля, называется уравнением прямой, а уравнение
(X - Х0)2 + (у - У0)2 = R2
— уравнением окружности с центром в точке М00; у0) и радиусом R > 0.

Для построения прямой нужно найти какие-либо две различные точки М11; у1) и М22; у2), координаты которых удовлетворяют уравнению этой прямой. Для построения окружности требуется найти ее центр и радиус (см. рис. ниже, где рассмотрены прямая у + 2х = 4 и окружность (х - 1)2 + (у - 2)2 = 5, т. е.


Замечание. Обе линии ах + by + с = 0 и (х - х0)2 + (у - у0)2 = R2 разбивают координатную плоскость на две части, для которых эти линии являются границей. Тогда одна из частей плоскости характеризуется тем, что координаты (х; у) всех ее точек М удовлетворяют неравенствам

ах + by + с < 0 и (х - х0)2 + (у - y0)2< R2,

а в другой части выполнены противоположные неравенства (см. рис. выше). Знак неравенства можно определить, найдя его в какой-либо одной точке соответствующей части плоскости.

Постройте графики следующих линейных функций и окружностей (38—61). На координатной плоскости отметьте штриховкой области, соответствующие указанным неравенствам (границы областей, отвечающих строгим неравенствам, условимся проводить пунктирной линией, а границы областей, отвечающих нестрогим неравенствам, — сплошной линией).

Задание 38.

Ответ:

Задание 39.

у = -2х + 1, у < -2х + 1

Ответ:

Задание 40.

Ответ:

Задание 41.

Что происходит с прямой при изменении коэффициента а? Через какую точку проходят все эти прямые?

Ответ:

При изменении а прямая

перемещается параллельно самой себе.

Задание 42.

у = ах - 1.

Что происходит с прямой при изменении коэффициента а? Через какую точку проходят все эти прямые?

Ответ:

При всех а прямые у = ах - 1 проходят через точку А (0; -1). При изменении а прямая у = ах - 1 вращается вокруг точки А (0; -1).

Задание 43.

Ответ:

Задание 44.

Ответ:

Задание 45.

Ответ:

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

(х-у)(х + 2у) > 0.

Ответ:

Задание 48.

Ответ:

Задание 49.

Ответ:

Задание 50.

(2х + у)2(х - 2у + 3) < 0

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Задание 52.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Решение:

Построим множество точек М(х; у), координаты которых удовлетворяют равенству у2 - 2ху - Зх2 = 0

Раскладывая левую часть на множители, получаем у2 - 2ху - Зх2 = (у + х) (у - Зх) = 0. Это пара пересекающихся прямых у = -х и у = Зх. Теперь заштриховываем область

Задание 55.

х2 + ху - 2у2> 0

Ответ:

Задание 56.

Ответ:

Задание 57.

Ответ:

Задание 58.

Решение:

Имеем х2 - 2х + у2 + 4y = (х - 1)2 + (у + 2)2 - 5. Таким образом, равенство х2 - 2х + у2 + 4у = 0 определяет окружность


с центром в точке А(1; -2) и радиусом

Теперь заштриховываем область

Задание 59.

Ответ:

Круг с центром в точке

радиусом R = 2:

Задание 60.

Что происходит с заштрихованной областью при изменении коэффициента а?

Ответ:

(х - 2)2 + у2 < (2|а|)2

Если а = 0, то одна точка А(2; 0). Если

то круг радиуса R = 2|а| с центром в точке А(2; 0). С увеличением |а| радиус круга увеличивается.

Задание 61.

Что происходит с заштрихованной областью при изменении коэффициента а?

Ответ:

— круг радиуса R - 2 с центром в точке (а; 0). При увеличении а круг, как целое, смещается вправо.

Задание 62.

Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа х, у и 6 - 2х являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру М и найдите ее площадь.

Решение:

Для того чтобы числа х, у и (6 - 2х) являлись длинами сторон некоторого треугольника, необходимо и достаточно, чтобы эти числа были положительными и сумма любых двух из них была больше третьего числа. Получаем неравенства х > 0, у > 0, 6 - 2х > 0, х + у > 6 - 2х, 6-х>у,6-2х + у>х. Равносильная система имеет вид

Заштриховываем соответствующую область.

Ее площадь S = 6 кв. ед.

Задание 63.

Пусть ./V — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа Зх, 2у и 9 - у являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру ./V и найдите ее площадь.

Ответ:

S = 18 кв. ед.

Задание 64.

Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Ответ:

Задание 65.

Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Ответ:

Задание 66.

На координатной плоскости отметьте штриховкой фигуру, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

Решение:

Раскладывая на множители, перепишем первое неравенство в виде

Второе неравенство принимает вид

Это круг радиуса R = 3 с центром в точке А(2; 0). Теперь заштриховываем нужную область

Задание 67.

На координатной плоскости отметьте штриховкой фигуру, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

Ответ:

Задание 68.

При всех а укажите наименьший корень уравнения

х3 - Зах2 - (а - 1)2х + За(а - 1)2 = 0

Решение:

Раскладываем левую часть на множители: х3 - Зах2 -- (а - 1)2х + За(а - 1)2 = х2(х - За) - (а - 1)2(х - За) = (х - За)(х - а + 1) (х + а - 1) = 0. Корнями данного уравнения являются х = За; х = а - 1; х= 1 -а.

В координатной системе Оах строим графики этих функций и функции х = min (За; а — 1; 1 - а)

Находим точки пересечения построенных прямых и записываем ответ.

Ответ:

1)


2)


3)

Задание 69.

При всех а укажите наибольший корень ypавнения

х3 - 2ах2 - (а + 1)2х + 2а(а +1)2 = 0.

Ответ:

1)

2)

3)

Задание 70.

Решите систему неравенств

Решение:

В координатной системе Оах отметим штриховкой область, заданную указанными неравенствами


Ответ:

1)

2)

Задание 71.

Решите неравенство

Ответ:

1)

2)

Задание 72.

Найдите все а, при которых неравенство

выполняется для всех

Решение:

В координатной системе Оах отметим штриховкой все точки М(а; х), координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам (жирная штриховка выделяет те точки, у которых

Мы видим, что только при

полоса

целиком лежит в заштрихованной области.

Ответ:

Задание 73.

Найдите все а, при которых неравенство

выполняется для всех

Ответ:

Задание 74.

При каких значениях параметра а система неравенств

имеет хотя бы одно решение?

Решение:

Решениями данного неравенства являются все точки (х; у), лежащие внутри круга

радиуса R = = 2|а| с центром в точке A(2; 0) и в области, определяемой неравенством

Изобразим эти множества точек

Мы видим, что система неравенств имеет решения, если радиус круга больше или равен длине перпендикуляра АВ, опущенного из точки А(2; 0) на прямую х - 2у = 0. Так как


то OB = 2АВ,


Таким образом, система имеет решения при

Ответ:

Задание 75.

При каких значениях параметра а система неравенств

не имеет решений?

Ответ:

Задание 76.

Найдите все значения параметров а и b, при которых система уравнений

удовлетворяющие условию

Решение:

Перепишем систему так:

а указанное условие преобразуем к виду х12 + y12 = х22 + у22 . Таким образом, точки пересечения двух окружностей

(х - 1)2 + (у + 2)2 = |b|2 и (х-(а- 6))2 + (у - а)2 = а2 + 9

сами должны лежать на некоторой окружности с центром О(0; 0). Для этого необходимо, чтобы их центры А(1; -2), В(а - 6; а) и точка О(0; 0) лежали на одной прямой, а именно на прямой у = -2х. Отсюда получаем, что а = -2а + 12, т. е. а = 4.

Теперь выясним, при каких |b| окружности (х- 1)2 + (y + 2)2 = |b|2 и (х + 2)2 + (y - 4)2 = 25 имеют две различные точки пересечения.

Расстояние |АВ| между центрами этих окружностей равно

Отсюда получаем, что окружности пересекаются только в том случае, если

Ответ:

Задание 77.

Найдите все значения параметров р и д, при которых система уравнений


имеет два решения (х1,y1) и (х2; у2), удовлетворяющих условию

.

Ответ:

Задание 78.

При каких а система уравнений

имеет единственное решение?

Ответ:

Задание 79.

При каких а система уравнений

имеет решения?

Решение:

Найдем предельные положения окружностей (х - а)2 + у2 = (2)2, при которых они касаются прямой х + у = 2.

Радиус окружности равен 2, ее центр — точка (а; 0). Поэтому для предельных случаев получаем

2 - 2)2 = 22 + 22; (2 - а1)2 = 22 + 22.

Значит, а1 и а2 — корни уравнения

а2- 4a - 4 =0,

т.е

Если

то прямая и окружность пересекаются, а, следовательно, система имеет решения.

Ответ:

Задание 80.

При каких значениях а окружность

(х - 2)2 + (у-2)2 = 1

лежит между двумя параллельными прямыми 2х + у = 2 и 2х + у =а?

Решение:

Прямая 2х + у = 2 и окружность (х - 2)2 + (у - 2)2 = 1 не пересекаются. Найдем те значения а, при которых прямая 2х + у = а является касательной к данной окружности.

Для этого уравнение

(х - 2)2 + (а - 2 - 2х)2 = 1

должно иметь единственное решение. После раскрытия скобок приходим к квадратному уравнению

2 - 4(а - 1)х + а2 - 4а + 7 = 0.

Так как дискриминант квадратного трехчлена должен быть равен нулю, то получаем уравнение для вычисления коэффициента а:


Из этих двух значений следует выбрать большее, т. е.

Ответ: