Варианты проверочных работ

 


Вариант 1

Задание 1.

Площадь прямоугольника равна 81 см2, а величина одного из углов, образованных диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника.

Ответ:

Задание 2.

Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание треугольника равно 24 см, а боковая сторона равна 13 см.

Ответ:

Задание 3.

Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен

меньшее основание равно a, a большая боковая сторона равна b.

Ответ:

Задание 4.

Вычислите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см.

Ответ:

Задание 5.

Через вершины произвольного четырехугольника проведены прямые, параллельные диагоналям. Найдите отношение площади параллелограмма, образованного этими прямыми, к площади данного четырехугольника.

Ответ:

Задание 6.

В прямоугольнике ABCD на сторонах АВ и AD выбраны соответственно точки Е и F так, что АЕ : BE = 3 :1, AF : FD = 1 : 2. Найдите отношение ЕО : OD, где О — точка пересечения отрезков DE и CF.

Ответ:

Задание 7.

Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон и продолжений двух других сторон этого треугольника. Найдите радиус вневписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной 3 см.

Ответ:

Задание 8.

Через смежные вершины квадрата проведена окружность так, что касательная, проведенная к ней из третьей вершины квадрата, равна удвоенной стороне квадрата. Найдите радиус этой окружности, если длина стороны квадрата равна

см.

Ответ:


Вариант 2

Задание 1.

Внутри острого угла взята, точка А, растояния от которой до сторон и вершины угла относятся как 2 : 11 : 14. Найдите величину этого угла.

Ответ:

Задание 2.

В АВС прямая, параллельная стороне АВ, пересекает сторону ВС в точке М, а сторону АС — в точке N. Площадь MCN в 2 раза больше площади трапеции ABMN. Найдите отношение СМ : МB.

Ответ:

Задание 3.

В трапеции ABCD основание ВС = 3 см, АВ = CD = 3 см. Диагонали трапеции пересекаются под углом 60°. Найдите длину основания AD.

Ответ:

Задание 4.

В АВС известно, что АВ = 40, ВС = 35, < BAC = 60°, BD — биссектриса. Найдите радиус окружности, вписанной в ADB.

Ответ:

Задание 5.

Окружность радиуса 1 вписана в ААВС, у которого

Эта окружность касается средней линии треугольника, параллельной АС. Найдите длину стороны АС.

Ответ:

Задание 6.

В остроугольном треугольнике

На стороне ВС как на диаметре построена окружность, пересекающая АС в точке Q, а АВ — в точке Р. Найдите отношение площадей APQ и АВС.

Ответ:

Задание 7.

В АВС точка D лежит на стороне АВ, причем

Найдите площадь АВС, если < АСВ = 120°.

Ответ:

Задание 8.

В параллелограмме ABCD известны длины сторон АВ = 2, ВС = 4 и диагонали BD = 3. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в ABD и ВDС.

Ответ:


Вариант 3

Задание 1.

В АВС < С = 60°, а биссектриса угла С равна

Длины сторон АС и СВ относятся как 5 : 2. Найдите тангенс угла А и длину стороны ВС.

Ответ:

Задание 2.

В прямоугольной трапеции, высота которой равна 4 см, на боковой стороне, не перпендикулярной основанию, как на диаметре построена окружность. Оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты равны основаниям данной трапеции.

Ответ:

Задание 3.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 м и 2 м. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.

Ответ:

Задание 4.

Сумма длин боковых сторон и высоты трапеции, описанной около окружности, равна 8 см. Найдите максимально возможное значение площади этой трапеции.

Ответ:

Задание 5.

Окружность касается сторон АС и ВС АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей внутри АBС, взята точка К так, что расстояние от нее до сторон АС и ВС равно 6 и 24 соответственно. Найдите расстояние от точки К до стороны АВ.

Ответ:

Задание 6.

Через центр О вписанной в АВС окружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Периметр AMN равен

а отрезок АО втрое больше радиуса вписанной в АВС окружности. Найдите площадь АВС.

Ответ:

Задание 7.

В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD делит пополам отрезок ОН, где О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот треугольника. Известно, что

Найдите радиус описанной около АВС окружности.

Ответ:

Задание 8.

Равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписан в окружность. Прямая CD, перпендикулярная АВ, пересекает окружность в точке Р. Касательная к окружности, проходящая через точку Р, пересекает прямую АВ в точке Q. Найдите длины отрезков РА и PQ, если АС = 5,

Ответ: