Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена

 

• Уравнение вида

называется квадратным уравнением. Число D = b2 - 4ac — дискриминант этого уравнения.
Если

то числа


являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни совпадают:

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.

Справедливы формулы:

— формулы Виета; а

ах2 + bх + с = а(х - х1)(х - х2) —

формула разложения на множители.

Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах2 + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.

Числа х1 и х2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях

точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).

Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах2 + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.

Рассмотрим понятие касательной к параболе (или окружности). Прямую у - kx + 1 назовем касательной к параболе (или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.

В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах2 + bх + с (для окружности — равенство (х - х0)2 + (kx + 1 - у0)2 - R2). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.

Решите следующие квадратные и сводящиеся к квадратным после простых преобразований уравнения (1—19):

Задание 1.

х2 - 6х + 8 = 0

Ответ:

{2; 4}

Задание 2.

2 - 1х + 1 = 0

Ответ:

Задание 3.

2 - 1 = 0

Ответ:

Задание 4.

Зх - 2х2 = 0

Ответ:

Задание 5.

х2 + 6x - 10 = 0

Ответ:

Задание 6.

2 + 5х - 7 = 0

Ответ:



Задание 7.

Ответ:

Задание 8.

Ответ:



Задание 9.

Ответ:

{4; 5}

Задание 10.

Указание:

х = 2 не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ:

3

Задание 11.

Указание:

х = +6 не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ:

Задание 12.

Ответ:

1

Задание 13.

Ответ:

{-5; 1}

Задание 14.

Ответ:

{-2; -1}

Задание 15.

Ответ:

2

Задание 16.

Ответ:

Задание 17.

Ответ:

{-4; 9}

Задание 18.

(х + З)3 - (х + 1)3 = 56

Ответ:

{-5; 1}

Задание 19.

(х - 2)3 - (х - З)3 = 19

Ответ:

{0; 5}

Решите уравнения 20—40, сводящиеся к квадратным после подходящей замены:

Задание 20.

2 + х - 1)(х2 + х + 2) = 4

Решение:

Выполнив замену

х2 + х = у,

сводим данное уравнение к квадратному

у2 + у - 6 = 0,

откуда у1 = -3; у2 = 2.

Теперь остается решить уравнения

х2 + х + 3 = 0, х2 + х - 2 = 0.

Первое из них решений не имеет. Решения второго — числа

х = -2; х = 1

Ответ:

{-2; 1}

Задание 21.

2 + 3х+ 1)(х2 + 3х-3) = 5

Ответ:

{-4;-2;-1; 1}

Задание 22.

х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 15

Указание:

Сначала перемножьте скобки (х - 3) и (х - 1)(х - 2), затем сделайте замену, полагая х2 - Зх = у.

Ответ:

Задание 23.

Ответ:

Задание 24.

2(х2 + х +1)2 - 7(х - 1)2 = 13(х3 - 1)

Решение:

Так как х3 - 1 = (x2 + x + 1) (x - 1), a

ни при каком х, то, разделив обе части данного уравнения на

2 + х + 1)2

и полагая

приходим к уравнению

2 + 13у -2 = 0,

откуда


Теперь, решив уравнения



получим ответ.

Ответ:

Задание 25.

(х + З)2 + 7(х2 - 9) + 6(х - З)2 = 0

Ответ:

Задание 26.

(х - 2)2(х + 1)2 - (х - 2)(х2 - 1) - 2(х - 1)2 = 0

Решение:

Число х = 1 не является решением данного уравнения. Поэтому, поделив обе его части на (х - 1)2, приходим к равносильному уравнению


откуда

равен либо 2, либо (-1). Решая полученные квадратные уравнения, находим их корни.

Ответ:

Задание 27.

Ответ:

Задание 28.

Решение:

Запишем уравнение в виде

т. е.


Отсюда либо

либо

х2 + 5х - 6 = х2 - 5х + 6

т. е.

Ответ:


Задание 29.

Указание:

Упростите каждую дробь, разделив числитель на знаменатель.

Ответ:

Задание 30.

Ответ:


Задание 31.

2- 6х)2-2(х - 3)2 = 81

Указание:

Воспользуйтесь тем, что х2 - 6х = (х - З)2 - 9, и положите у = (х - З)2.

Ответ:

Задание 32.

2 + 2х)2 - (х + 1)2 = 55

Ответ:

{-4, 2}

Задание 33.

Указание:

Положите

Ответ:

Задание 34.

Указание:

Положите

Ответ:

Задание 35.

Решение:

Поделив числитель и знаменатель каждой из дробей на х и обозначив

приходим к уравнению



откуда у = 7 или у = 14. Теперь решаем уравнения



Первое уравнение решений не имеет, а второе дает

Ответ:

Задание 36.

Ответ:



Задание 37.

2 -6x- 9)2 = x(x2 - 4x- 9)

Указание:

Сделайте замену


предварительно вынеся за скобки нужные множители.

Ответ:

Задание 38.

х(х2 + 1) - 2(х2 -х + 1)2

Решение:

Перепишем уравнение в виде



Так как х = 0 не является решением исходного уравнения, то, сокращая на х2 и обозначая

приходим к уравнению 2у2 = у + 1

Отсюда у = 1 и

Теперь решаем уравнения



и получаем единственное решение х = 1.

Ответ:

{1}

Задание 39.

Указание:

См. решение задания 40.

Ответ:


Задание 40.

Решение:

Запишем уравнение в виде



т. е.



Положив

получаем квадратное уравнение

у2 - 4у - 12 = 0

Отсюда у = 6 или у= - 2. Теперь решаем уравнения

и



Первое из них решений не имеет, а второе дает

Ответ:

Задание 41.

Осенью закупили картофель на сумму 810 р. Весной 1 кг картофеля стал стоить на 1 р. дороже, чем осенью. Поэтому на ту же сумму весной было куплено на 27 кг картофеля меньше. Сколько стоил 1 кг картофеля весной?

Ответ:

6 р.

Задание 42.

Зарплата служащего до повышения составляла 700 р. Она повышалась дважды, причем процент повышения зарплаты во второй раз был вдвое больше, чем в первый. На сколько процентов была повышена зарплата в первый раз, если после двух повышений она составила 924р.?

Ответ:

На 10 %

Задание 43.

В результате переоборудования производительность завода за первый год возросла на m% , а за второй — на 5% больше, чем за первый. В результате за два года производительность завода увеличилась на 38%. На сколько процентов увеличилась производительность за первый год?

Ответ:

На 15 %

Задание 44.

Один из корней уравнения 5х2 - ах + 12 = 0 на 1,4 больше другого. Найдите значения коэффициента а.

Указание:

Воспользуйтесь теоремой Виета.

Ответ:

Задание 45.

Один из корней квадратного уравнения 2х2 - 14х + с = 0 в 2,5 раза больше другого. Найдите коэффициент с.

Ответ:

{20}

Задание 46.

Один из корней квадратного уравнения х2 -- (а + 6)х + а2 = 0 равен 2. Найдите а.

Ответ:

{- 2; 4}

Задание 47.

Найдите значения коэффициента а, при которых корни уравнения (2а - 5)х2 - 2(а - 1)х + 3 = 0 равны между собой.

Ответ:

{4}

Задание 48.

Пусть x1 и х2 корни уравнения х2 + ах + 4 = 0. Не вычисляя x1 и x2, найдите значения следующих выражений:

a) x1х2

б) (x1 + 1)(х2 + 1)

в) x12 + x22

г)


д) x13 + x23

Решение д):

Согласно теореме Виета получаем

x1 + х2 = -а, x1х2 = 4. Тогда

x13 + х23 = (x1 + х2)[(x1 + х2)2 - 3x1х2] = -а(а2 - 12) = 12а - а3

Ответ:

а) 4

б) 5 - а

в) а2 - 8

г)

Задание 49.

Квадратное уравнение х2 + Зх - 5 = 0 имеет корни x1 и x2. Составьте квадратное уравнение, имеющее следующие корни:

а) 2х1 и 2х2

б) - х1 и - х2

в) х1 + х2 и x1x2

г) x12 и x22

Решение г).

Имеем x1 + x2 = -3, x1x2 = -5. Тогда

x12 + x22 = (x1 + x2)2 -2x1x2 = 19

x12 x22 = (-5)2 = 25

Поэтому, применяя теорему Виета, записываем уравнение, имеющее корни x12 и x22 , и получаем

х2 - 19х + 25 = 0

Ответ:

а) х2 + 6х - 20 = 0

б) х2 - Зх - 5 = 0

в) х2 + 8х + 15 = 0

Задание 50.

Найдите все значения а, при которых сумма корней квадратного уравнения х2 - 2а(х - 1) - 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Ответ:

Задание 51.

При каких значениях а разность корней уравнения

2 - (а + 1)х + а - 1 =0

равна их произведению?

Решение:

Корни данного уравнения — это числа x1 = 1,


Условию задачи удовлетворяет только разность (x1 - x2). Получаем

откуда а = 2.

Ответ:

2

Задание 52.

При каких значениях а уравнения

х2 + ах+1 = 0 и х2 + х + а = 0

имеют общий корень?

Решение:

Для переменных х и а должны одновременно выполняться равенства



откуда, вычитая из первого уравнения второе, получаем

ах - х +1 - а = (а - 1)(х - 1) = 0

Если а = 1, то уравнения совпадают, но не имеют решений. Если же х = 1, то, подставляя это значение в любое уравнение, находим а = -2.

Ответ:

-2

Постройте графики заданных функций. На координатной плоскости отметьте штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам (53—64):

Задание 53.

у = х2, у = (х - З)2, у = - х2 + 6х - 9

Ответ:

Задание 54.

Ответ:

Задание 55.

Ответ:

Задание 56.

у = х2 - 5х + 4, у < х2 - 5х + 4

Ответ:


Задание 57.

Ответ:

Задание 58.

Ответ:


Задание 59.

Ответ:


Задание 60.

Ответ:

Задание 61.

Ответ:

Задание 62.

Ответ:

Задание 63.

Ответ:

Задание 64.

Ответ:

Задание 65.

Фигура Ф состоит из точек М(х; у) таких, что неравенство

выполняется при всех значениях параметра t. Постройте фигуру Ф и найдите ее площадь.

Ответ:

Решение:

Из условия следует: дискриминант квадратного трехчлена (относительно переменной t)

z = t2 + 2tx + 4t - у2

не положителен. Получаем:

т. е.

Значит, множество Ф — это круг радиуса 2 с центром в точке А (2, 0)

Его площадь

Задание 66.

Фигура Ф состоит из точек М(х; у) таких, что неравенство

выполняется для всех значений параметра t. Постройте фигуру Ф и найдите длину отрезка оси абсцисс, лежащего внутри фигуры Ф.

Указание:

См. решение задания 65.

Ответ:

При решении задач 67—70 существенно помогает штриховка в плоскости (х; а) областей, задаваемых неравенствами, входящими в условия этих задач.

Задание 67.

Найдите все значения а, при которых система неравенств

имеет единственное решение.

Решение:

В плоскости (х, у) отметим штриховкой множество точек, удовлетворяющих указанным неравенствам. Мы видим, что параболы а = -х2 - 2х и

пересекаются только в точках

Поэтому заштрихованная область пересекается с прямой а = const в одной точке только при а = 0 и а = 1.

Ответ:

{0; 1}

Задание 68.

При каких значениях а система

имеет единственное решение?

Решение:

В плоскости (х, у) отметим штриховкой множество точек, удовлетворяющих неравенству (у + х)(у + х - 2) < 0

Очевидно, что если а = 0, то система имеет бесконечно много решений: (х; -1), где

Если же а #0, то система имеет единственное решение только в том случае, если прямая у = 2 - х служит касательной к параболе

у = ах2 + 2ах - 1 при а > 0,

либо прямая у = -х служит касательной к той же параболе, но при а < 0. Рассмотрим эти случаи. Прямая у = 2 - х — касательная к параболе

у = ах2 + 2ах - 1

в том и только том случае, если уравнение

ах2 + 2ах - 1 = 2 - х

имеет единственное решение. Имеем

ах2 + 2(а +1)х — 3 = 0; D = (2а + 1)2 + 12а = 4а2 + 16а + 1

Приравнивая дискриминант нулю, получаем решения

Но оба эти значения отрицательны и, следовательно, не подходят. Теперь ищем значения а < 0, при которых прямая у = - х касается параболы

у = ах2 + 2ах - 1

Проведя вычисления, получаем

Ответ:

Задание 69.

Решите систему неравенств

Указание:

См. решение задания 70.

Ответ:

При

при




Задание 70.

Решите систему неравенств

Решение:

В плоскости (х; а) отметим штриховкой область, где выполнены оба неравенства

На прямой 2х + а + 6 = 0 имеем

На параболе а = -(х2 + 4х + 3) получаем,


задает левую (относительно оси симметрии х = -2) половину параболы, а

— ее правую половину.

Ответ:

При

при

при



Решение задач 71—92 облегчает построение графиков входящих в условия задач квадратных трехчленов при различных значениях параметров.

Задание 71.

При каких а неравенство (а + 4)х2 - 2ах + а - 6 < 0 выполнено для всех

Указание:

Здесь должны выполняться неравенства

а + 4 < 0 и D <0.

Ответ:

Задание 72.

При каких а неравенство


выполнено для всех

Решение:

Так как х2 - Зх + 4 > 0 при всех х € R, то исходное неравенство равносильно неравенству

2 - (а + 3)х + 2 > 0

Последнее справедливо при всех

в двух случаях: либо D = (а + З)2 - 16 < 0, т. е. а € (-7; 1) — в этом случае неравенство справедливо вообще для всех х е R

либо при D > 0 оба корня должны быть отрицательными. Положим у = 2х2 - (а + 3)х + 2. Тогда сформулированное условие равносильно выполнению системы


т. е.



Следовательно,

Объединяя два рассмотренных случая, получаем, что a < 1.

Ответ:

Задание 73.

При каких а неравенство

(х - За) (х - а - 3) < 0

выполнено для всех

Указание:

См. решение задания 74.

Ответ:

Задание 74.

При каких а неравенство



выполнено для всех

Решение:

В плоскости (х; а) отметим штриховкой нужную область

Любое

лежит в заштрихованной области при a1< а < а2, где a1 — корень уравнения 4а + 3 = 2, т. е.

а а2 — корень уравнения 2а - 2 = 1, т. е.

Ответ:

Задание 75.

При каких а число 3 заключено между корнями уравнения

х2 - 2ах + а2 - 1 = 0?

Указание:

Пусть у2 = х2 - 2ах + а2 - 1

Тогда условие задачи равносильно выполнению неравенства D > 0, у(3) < 0.

Ответ:

Задание 76.

При каких а оба корня уравнения

х2 - 6ах + 9а2 - 2а + 2 = 0

больше 3?

Решение:

Положим у - х2 - 6ах + 9а2 - 2а + 2, хB = За — абсцисса вершины этой параболы

Тогда условие задачи равносильно выполнению неравенств

хB = За > 3, у(3) = 9 - 18а + 9а2 - 2а + 2 = 9а2 - 20а + 11 > 0, D = 2а - 2 > 0.
Решая эту систему, получаем


Ответ:

Задание 77.

При каких а корни уравнения

х2 - (а - 1)х + 2а --1 = 0

имеют разные знаки и оба принадлежат отрезку [- 2; 2]?

Указание:

См. решение задания 78.

Ответ:

Задание 78.

При каких а корни уравнения

х2 - 2(а - 1)х + 2а + + 1 = 0

имеют разные знаки и оба по модулю меньше 4?

Решение:

Рассмотрим функцию

у = х2 - 2(а - 1)х + 2а + 1

Тогда условие задачи равносильно выполнению неравенств

откуда получаем, что

Ответ:

Задание 79.

При каких а среди решений неравенства

х2 - 37х < а

нет ни одного целочисленного решения?

Ответ:

Задание 80.

При каких а неравенство

18х > х2 + а

не имеет ни одного четного целочисленного решения?

Указание:

Рассмотрите график функции у = х2 -- 18х + а при различных а.

Ответ:

Задание 81.

При каких а наибольшее значение функции

у = -х2 + 2ах - 71

на

равно 10?

Указание:

См. решение задания 82.

Ответ:

{-15; 9}.

Задание 82.

При каких а наименьшее значение функции

у = х2 - 2ах + 43

на

равно 7?

Решение:

Рассмотрим два возможных варианта

расположения вершины параболы:

1) хB - а < -2. Тогда наименьшее значение функции

у = х2 - 2ах + 43 достигается в точке х = -2. Имеем у(-2) = 4а + 47 = 7, откуда а = -10;

2)

Тогда наименьшее значение функции у = х2 - 2ах + 43 на


достигается при х = а. Имеем у(а) = 43 - а2 = 7, откуда а = 6.

Ответ:

{-10; 6}.

Задание 83.

При каких а наибольшее значение функции

у = х2 - Зах + а2

на [-1; 3] равно 5?

Указание:

См. решение задания 84.

Ответ:

Задание 84.

При каких а наименьшее значение функции

у = -х2 +4ах + 5а2

на [-3; 1] равно 8?

Решение:

Если абсцисса вершины параболы у = -х2 + 4ах + + 5а2, т. е. хB = 2а, удовлетворяет условию 2а < -1, то наименьшее значение функции у = -х2 + 4ах + 5а2 на [-3; 1] достигается при х = 1.

Тогда у(1) = -1 + 4а + 5а2 = 8, откуда а


Если же


то наименьшее значение функции у = -х2 + 4ах + 5а2 на [-3; 1] достигается при х = -3. В этом случае у(-3) = -9 -12а + 5а2= 8, откуда

Ответ:

Задание 85.

Найдите наибольшее значение функции

у = -2х2 - ах + 3

на отрезке [1;2].

Ответ:
при

при

при

Задание 86.

Найдите наименьшее значение функции

у = Зх2 + ах - 5

на отрезке [-1; 3].

Решение:

Рассмотрим три случая.

1) Если

то наименьшее значение функции у = Зх2 + ах — 5 на [—1; 3] равно у(— 1). Значит, при


2) Если же

то наименьшее значение этой функции на [-1; 3] достигается в вершине параболы, т. е. при

и оно равно

Таким образом, при


3) Наконец, если

т. е. а < -18, то наименьшее значение функции у = Зх2 + ах - 5 на [-1; 3] составляет с у(3) = 22 + За.

Ответ:

при

при

при

Задание 87.

Функция

определена на отрезке [5; 7]. Найдите все значения а, при которых наибольшее значение f(x) на [5; 7] не превышает 0,1.

Указание:

См. решение задания 88.

Ответ:

Задание 88.

Функция

определена на отрезке [-7; -4]. При каких значениях а наибольшее значение f(x) на [-7; -4] не превышает 0,5?

Решение:

Построим график функции у = х2 + 6х + а = (х + З)2 + + а - 9 и найдем те значения а, при которых параболы пересекают ось абсцисс в точках х = -4 и х = —1. Получаем а = 8 и а = -7. Далее рассмотрим два случая.

1) Если а < -7, то значения у = х2 + 6х + а на [-7; -4], отрицательны, а тогда для f(х) = у-1(х) выполнено условие задачи.

2) Если же а > 8, то наименьшее значение у = х2 + 6x + а на [-7, -4] равно ,у(-4) = а - 8. Для того чтобы

на [-7; -4], должно выполняться условие

т. е.

Ответ:

Задание 89.

При каких значениях а функция


возрастает на отрезке [а - 5; 5а]?

Указание:

См. решение задания 90.

Ответ:





(5 1 "I -- ; - . Указание. См. решение задачи 90. 4 5 J

Задание 90.

При каких значениях а функция


убывает на отрезке [За; а -f 3]?

Решение:

Для выполнения условий задачи функция

у = х2 + 4х + 20 = (х + 2)2 + 16

должна возрастать на отрезке [За; а + 3]. Значит, этот отрезок должен лежать

Получаем неравенства

Отсюда


Ответ:

Задание 91.

Найдите все а, при которых корни уравнения

х2 + 2х - а2 + 1 = О

лежат между корнями уравнения

х2 + 2(а + 1)х + а(а - 1) = 0.

Решение:

Корни уравнения х2 + 2х - а2 + 1 = 0 — это числа х1 = -1+ а, х2 = -1 - а. Рассмотрим функцию

у = х2 + 2(а + 1)х + а(а + 1)

Для того чтобы выполнялось требование задачи, необходимо и достаточно выполнения условий




Решаем эти неравенства и получаем а > 1.

Ответ:

Задание 92.

При каких а корни уравнений

х2+ 4х - 5 = 0 и х2+ах + а2-а-9 = 0

образуют арифметическую прогрессию?

Решение:

Корнями уравнения х2 + 4х - 5 = 0 являются числа х1 = -5; Х2 = 1. Таким образом, эти числа и корни уравнения х2 + ах + + а2 -а-9 = 0 образуют арифметическую прогрессию только в том
случае, если корнями второго уравнения служат следующие пары чисел:

1) -17 и -11;
2) -8, -2;
3) -3, -1;
4) -2, 4;
5) 7 и 13.

Подставляя каждое из этих чисел в уравнение, находим допустимые значения а. Решение получается только для третьей пары чисел и только при а = 4.

Ответ:

{4}

Задание 93.

Найдите все а, при которых существуют такие числа х и у, что

х2 + 2у2 + а2 + ху - ах + ау = 3

Указание:

См. решение задания 94.

Ответ:

Задание 94.

Найдите все а, при которых существуют такие числа х и у, что

х2 + 8у2 + 4а2 - 2ху + 2ах + 4aу = 12

Решение:

Запишем уравнение в виде х2 - 2(у - а)х + 8у2 + + 4а2 + 4ау - 12 =0. Для того чтобы это квадратное уравнение имело решения при каких-либо у и а, нужно, чтобы его дискриминант был
неотрицателен. Имеем

т. е.


Последнее неравенство имеет решения только в том случае, если

т. е. 12а2< 84. Отсюда получаем

Ответ:

Задание 95.

При каких значениях параметра а уравнение

х4 + 2ах2 -За -2 = 0

имеет четыре различных корня, причем два из них меньше (-1), а два других меньше

Решение:

Требования задачи будут выполнены, если функция

у = t2 + 2at - За - 2

будет иметь два различных корня, принадлежащих интервалу (1; 2). Для этого должны выполняться следующие условия:

т. е.

у(1) = -а - 1 > 0, т. е. а < -1;
у(2) = а + 2 > 0, т. е. а > -2;
наконец,

откуда


Объединяя все эти условия, получаем

Ответ:

Задание 96.

При каких а сумма корней уравнения

х2 + 2(а2 - За)х - (6а3 - 14а2 + 4) = 0

принимает наибольшее возможное значение?

Решение:

Для того чтобы уравнение имело корни должно выполняться неравенство

откуда либо

либо

При этих значениях параметра а нужно найти наибольшее значение величины S(a) = 6a - 2a2 - суммы корней этого уравнения. Легко видеть, что это наибольшее значение достигается при a = 1.

Ответ:

{1}