Степени и корни.
Тождественные преобразования числовых и алгебраических выражений

 


• Основой для тождественных преобразований числовых и алгебраических выражений служат формулы сокращенного умножения:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2;

(а - b)2 = а2 -2аb + b2;

(а + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

(а - b)3 = а3 - За2b + Заb2 - b3;

а2 - b22 = (а - b) (а + b);

а3 - b3 = (а - b)(а2 + аb + b2);

а3 + b3 = (а + b)(а2 - ab + b2).

Принято считать, что все тождественные преобразования выполняются в области определения выражений, входящих в рассматриваемую задачу. При этом в ответе сама эта область, как правило, не указывается.

Упростите следующие выражения (1—26):

Задание 1.

Ответ:

0

Задание 2.

Ответ:

0


Задание 3.

Ответ:

-1

Задание 4.

Ответ:

а - b

Задание 5.

Ответ:

Задание 6.

Ответ:

Задание 7.

Ответ:

Задание 8.

Ответ:

1

Задание 9.

Ответ:

Задание 10.

Ответ:

0

Задание 11.

Ответ:

1

Задание 12.

Ответ:

а + 3

Задание 13.

Решение:

Учитывая, что а3 - 125 = (а - 5)(а2 + 5а + 25), и приводя дроби к общему знаменателю, получаем


Ответ:

а - 5

Задание 14.

Ответ:


Задание 15.

Ответ:

4

Задание 16.

Ответ:

0

Задание 17.

Ответ:

а9

Задание 18.

Ответ:

Задание 19.

Ответ:

(2а + 1)2

Задание 20.

Ответ:

0

Задание 21.

Ответ:

0

Задание 22.

Решение:

Заметим, что а3 + 27 = (а + 3)(а2 - За + 9), а2 + 7а = 12 = (а + 3)(а + 4). Теперь получаем

Ответ:

1

Задание 23.

Ответ:

Задание 24.

Ответ:

Задание 25.

Решение:

1) Если х > 1, то |x - 1| = х - 1. Тогда



2) Если х < 1, то |х - 1| = 1 - х, откуда



Ответ:

при х > -1 => х2 + х + 1; при х < 1 => -х2 - х.

Задание 26.

Ответ:

При

при

Решите уравнения (27—34):

Задание 27.

(х - 1)3 = x(x + 2)2 - 9

Ответ:

Задание 28.

(x + 2)3 =5 x(x - 1)2 + 62

Ответ:

Задание 29.

Ответ:

2

Задание 30.

Указание:

х = -1 не входит в область допустимых значений.

Ответ:

2.

Задание 31.

Решение:

Запишем уравнение в виде



Приведем дробь к общему знаменателю и получим квадратное уравнение х2 + х -12=0. Его корни X1 = -4, Х2 = 3. Корень х = 3 не входит в область допустимых значений и его нужно отбросить.

Ответ:

{-4}

Задание 32.

Ответ:

{-8}

Задание 33.

Ответ:

Задание 34.

Ответ:

 

Найдите числа а, b, с, d такие, что выполняются заданные равенства (35—38):

Задание 35.

Ответ:

a = 1; b = 3; с = -1

Задание 36.

Ответ:

Задание 37.

Решение:

Отметим, что (х2 - Зх + 2)2 = (х - 1)2(х - 2)2. Заданное равенство есть равенство двух дробей, из которых одна представлена в виде суммы простейших дробей. Имеем



Приравняем числители этих дробей:

а(х - 2)2 + b(х - 1)(х - 2)2 + с(х - 1)2 + d(x - 2)(х - 1)2 = х2.

Полагая в этом равенстве х = 1, находим а = 1, а, полагая х = 2, получим с = 4. При а = 1 и с = 4 перепишем равенство в виде

(х - 2)2 + 4(х - 1)2 - х2 = (1 - х)(2 - х)2b + (2 - х)(1 - x)2d.

Теперь положим в этом равенстве х = 0 и получим 4b + 2d = 8, т. е. 2b + d = 4; далее, при х = -1 имеем 18b + 12d = 24, т. е. Зb + 2d = 4. Решив полученную систему, найдем b = 4; d = -4.

Ответ:

а = 1; b = 4; с = 4; d = -4

Задание 38.

Решение:

Поделив х3 + 1 на х3 - 5х + 6х с остатком, имеем



откуда а = 1, а для вычисления коэффициентов b, с и d получаем равенство

b(х - 2)(х - 3) + сх(х - 3) + dx(x - 2) = 5х2 - 6х + 1.

Взяв х = 0, находим 6b = 1, т. е

Взяв х = 2, находим -2с = 9, откуда

Наконец, при х = 3, имеем 3d = 28, откуда

Ответ:

Постройте графики функций (39, 40):

Задание 39.

Указание:

Упростив правую часть равенства, получим


Ответ:

График — гипербола.

Задание 40.

Указание:

Упростив правую часть равенства, получим

Ответ:

График — гипербола.

• Напомним, что символом

обозначается арифметический корень из неотрицательного числа а, т. е. неотрицательное число b, такое, что b2 - а (соответственно b2n = а). Символ

обозначает любое число b, такое, что b2n + 1 - а. Справедливы равенства:

Далее, если

— рациональное число, а число а > 0, то по определению



Наконец, напомним правила действия со степенями. Если числа а, b > О, a r1 и г2 — любые рациональные числа, то:


Отметим, что для многих показателей r степень аr определена на более широком множестве. Так, выражение



определено при всех

а

— вообще для всех а € R.

Упростите выражения (41—63):

Задание 41.

-(0,5)2 : (0,5)3 - 271/3 + 44 • 4-2 - (0,2)0

Ответ:

10

Задание 42.

Ответ:

Задание 43.

Ответ:

8

Задание 44.

Ответ:

10

Задание 45.

Ответ:

-3

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

Ответ:

а-2

Задание 48.

Ответ:

а4/5

Задание 49.

Ответ:

2аb-1

Задание 50.

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Задание 52.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Ответ:

1

Задание 55.

Ответ:

1

Задание 56.

Ответ:

1


Задание 57.

Ответ:

Задание 58.

Ответ:

а + b

Задание 59.

Ответ:

-3

Задание 60.

Ответ:

3

Задание 61.

Ответ:

0

Задание 62 .

Ответ:

-25

Задание 63.

Ответ:

 

Упростив правые части равенств, решите уравнения (64—67):

Задание 64.

Ответ:

Задание 65.


Ответ:

14

Задание 66.


Решение:

Преобразуя правую часть равенства, имеем:



т. е. х3 + х - 2 = - 0. Далее, раскладывая левую часть последнего уравнения на множители, получаем

х3 + х - 2 = (х - 1)(х2 + х + 2) = 0, откуда х = 1.

Ответ:

1

Задание 67.


Ответ:

1

Упростите следующие числовые и алгебраические выражения (68—79):

Задание 68.

Ответ:

Задание 69.

Указание:

Найдите числа а и b такие, что a2 +b2 = 18,

Тогда под корнем окажется выражение (а + b)2.

Ответ:

Задание 70.

Ответ:

2

Задание 71.

Указание:

Ответ:

-2

Задание 72.

Решение:

Положим

Тогда, используя формулу (а + b)3 = а3 + b3 + Заb(а + b), получим



Таким образом, х3 = 4 - Зх, т. е. х3 + Зх - 4 = 0. Раскладывая левую часть этого уравнения на множители, имеем (х - 1)(х2 + х + 4) = 0, т. е. х = 1.

Ответ:

1

Задание 73.

Ответ:

4

Задание 74.

Ответ:

3

Задание 75.

Ответ:

Задание 76.

Решение:

Так как


то



Мы воспользовались тем, что

Ответ:

Задание 77.

Указание:

После извлечения квадратных корней выражение примет вид

Ответ:

если

1, если


если

Задание 78.

Решение:

Так как


то при

получаем



Мы воспользовались тем, что при

Ответ:

Задание 79.

Указание:

Ответ:

при

при




Постройте графики функций (80—83):

Задание 80.

Ответ:

Задание 81.

Ответ:

Задание 82.

Ответ:

Задание 83.

Ответ:

 

Разложите на множители многочлены (84—89):

Задание 84.

х4+ х2 + 1

Указание:

х4 + х2 + 1 = х4 + 2х2 + 1 -- х2 = (х2 + 1)2 - х2.

Ответ:

2 - х + 1)(х2 + х + 1).

Задание 85.

х8 + х4 + 1

Решение:

Имеем



Квадратные трехчлены в скобках далее на множители не раскладываются (у всех этих трехчленов отрицательные дискриминанты).

Ответ:

Задание 86.

2 - 6х - у2 + 2у

Ответ:

(Зх - у)(3х + у - 2)

Задание 87.

х2 - 2х - 4у2 + 4yz + 1 - z2

Ответ:

(х + 2у + z - 1)(х - 2у - z - 1)

Задание 88.

х4 + у4

Ответ:

Задание 89.

х4 + у4 + х2 у2

Решение:

Получаем

х4 + у4 + Х2у2 = х4 + у4 + 2х2у2 - х2у2 = (х2 + у2)2 - (ху)2 = (х2 + у2 + ху) (х2 + у2 - ху).

Ответ:

2 + у2 + ху) (х2 + у2 - ху).

Задание 90.

Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие уравнению:

а) 2х2 + 5у2 + 2ху - 8х + 2у + 10 = 0

б) 10x2 - 10ху + 5у2 + 2х - 8у + 5 = 0

Решение а).

Замечаем, что 2х2 + 5у2 + 2ху = (х + 2у)2 + (х - у)2.

Теперь подберем числа а и b так, чтобы

(х + 2у + а)2 + (х - у + b)2 = 2х2 + 5у2 + 2ху - 8х + 2у + 10.

Приравнивая коэффициенты при подобных членах, имеем



откуда а = -1; b = -3.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

(х + 2у - 1)2 + (х - у - З)2 = 0, т. е.



Решив систему, получаем

Отметим, что это решение можно также получить, решив уравнение относительно одной из
переменных, например «х».


Указание к b:

10х2 - 10ху + 5у2 = (3х - 2у)2 + (х + у)2.

Далее см. решение задачи 90 а).

Ответ:

а)

b)


Задание 91.

Найдите все целочисленные решения уравнений:

а) х3 - 6х2 - ху + 13х + Зу + 7 = 0

б) 2х3 - 9х2 - ху - 6х + 5у + 12 = 0

Решение b):

Запишем уравнение в виде у(х - 5) = 2х3 - 9х2 - 6х + 12, откуда, поделив его правую часть на (х - 5) с остатком, получим



Мы ищем целочисленные решения уравнения. Значит, число (х - 5) должно быть целым делителем числа 7. Отсюда следует:

х - 5 = 1=>х = 6, у =84;
х - 5 = -1 => х = 4, у = 28;
x - 5 = 7=>x = 12, у= 300;
х - 5 = -7 => х = -2, у = 4.

Ответ:

а) {(4; 27); (2; -17); (22; 423); (-16; 307)}

б) {(-2; 4), (4; 28), (6; 84), (12; 30)}

Задание 92.

Проверьте, что число

удовлетворяет уравнению х3 + 2bх - 2а = 0.

Указание:

Найдите х3, используя формулу (u - v)3 = u3 - u3 -- 3uv(u - v).

Задание 93.

Проверьте, что если


то х2/3 + у2/3 = а2/3 .

Решение:

Имеем



и, следовательно,



Отсюда и получаем нужное равенство.