Многочлены. Уравнения высших степеней, системы уравнений

 

• Функция

называется многочленом степени

числа а0, а1; ..., аn — коэффициентами многочлена.

Всякий многочлен М(х) можно поделить с остатком на многочлен N(x), т. е. получить равенство

М(х) = Q(x)N(x) + R(х).

Здесь Q(x) и R(х) — также некоторые многочлены: Q(x) — частное, а R(х) — остаток от деления М(х) на N(x). При этом степень остатка R(х) строго меньше степени делителя N(x). В частности, если N(x) = х - с, то М(х) = (х - c)Q(x) + b, где число b равно М(с), т. е. остаток отделения многочлена М(х) на (х - с) равен М(с) (теорема Безу).

Если М(с) = 0, то число с называется корнем многочлена М(х). Пусть М(х) - - многочлен степени n, а х = с1 — его корень; тогда М(х) = (х - c1)Q(x), где Q(x) имеет степень (n - 1). Если же известны n корней с1; ..., сn многочлена М(х), то

М(х) = а0(х - x1)(x - х2) ... (х - хn),

где а0 — коэффициент при старшей степени многочлена М(х) (старший коэффициент).

Разделите «углом» многочлен М(х) на многочлен N(x), укажите частное и остаток (1—6):

Задание 1.

М(х) = х3 - Зх2 + 5х - 6, N(x) = х -- 2

Ответ:

х3 - Зх2 + 5х - 6 = (х2 - х + 3) (х - 2)

Задание 2.

М(х) = х3- х2- 8х + 12, N(x) = x2 + 1

Ответ:

х3 - х2 - 8х + 12 = (х - 1) (х2 + 1) - 9х + 13

Задание 3.

М(х) = х3 - Зх + 2х - 1, N(x) = х2 + х

Ответ:

х3 - Зх2+ 2х - 1 = (х - 4) (х2 + х) + 6х - 1

Задание 4.

М(х) = х4 + х2 + 1, N(х) = х2 + х + 1

Ответ:

х4 + х2 + 1 = (х2 - х + 1) (х2 + х + 1)

Задание 5.

М(х) = х4 + 4, N(х) = х2 - 2х + 2

Ответ:

х4 + 4 = (х2 + 2х + 2) (х2 -2х + 2)

Задание 6.

М(х) = х102 + 1, N(x) = x2 + x+1

Ответ:

X10 + X2 + 1 = (X8 - Х7 + Х5 - X4 + Х2- X + 1) (X2 + X + 1)

 

Найдите остатки от деления многочлена М(х) на х; х - 1; х + 3; 2х - 4 (7—12):

Задание 7.

М(х) = х2 +2х - 3

Ответ:

-3;0;0; 2,5

Задание 8.

М(х) = х3 - 2х - 3х

Ответ:

0;-4;-36; 3

Задание 9.

М(х) = х4 - 7х2 - 6x + 1

Ответ:

1;-11; 163;-6,5

Задание 10.

М(х) = х4 + 81

Ответ:

81; 82; 0; 48,5.

Задание 11.

М(х) = х6 - x5 - 6х4 - x2 + х + 6

Ответ:

6; 0; 492;-30

Задание 12.

М(х) = х5 + Зx4 + Зх3 + 9х2 - 4х - 12

Ответ:

-12; 0; 0; 60

Задание 13.

При каком а остаток от деления многочлена

М(х) -- 2х3 - Зх2 + ах - 6 на х - 2 равен 6?

Решение:

По теореме Везу остаток от деления М(х) на (х — 2) равен М(2). Отсюда М(2) = 2а - 2 = 6.

Ответ:

а = 4

Задание 14.

При каком а остаток от деления многочлена

М(х) = = 2х5 - Зх3 + 11х2 - х + а на х + 2 равен 3?

Ответ:

а = -3

Задание 15.

Найдите числа а и b, если остаток от деления

М(х) = 2х3 - Зх2 - ах + b на (х + 1) равен 7, а от деления на (х - 1) он равен 5.

Ответ:

а = 3; b = 9

Задание 16.

При делении многочлена Р(х) на (х - 1) в остатке получается 2, а при делении на (х - 2) в остатке получается 1. Чему равен остаток от деления Р(х) на (х - 1)(х - 2)?

Решение:

Запишем многочлен Р(х) в виде Р(х) = Q(x)(x - 1)(х - 2) + ах + b, где Q(x) — частное, а (ах + b) — остаток от деления Р(х) на (х - 1)(х - 2). Используя теорему Безу, получаем

откуда а = -1, b = 3.

Ответ:

-х + 3

Задание 17.

При каких значениях а и b многочлен

М(х) = ах3 + + bх2 - 37х + 14 делится на (х2 + х - 2) без остатка?

Указание:

х2 + х - 2 = (х - 1)(х + 2)

Ответ:

а = 15, b = 8

Задание 18.

При каких значениях а и b многочлен

М(х) = ах3 + + bх2 - 73х + 102 делится на х2 - 5х + 6 без остатка?

Решение:

Так как х2 - bх + 6 = (х - 2) (х - 3), то М(х) делится на (х - 2) и на (x - 3) без остатка. Используя теорему Безу, получаем


откуда a = 2, b = 7.

Ответ:

a = 2, b = 1

Задание 19.

Составьте уравнение третьей степени, имеющее корни:

а) 1; 3; -2;
б) 1; 1; 3;
в)

Ответ:

а) (х - 1)(x - 2)(x + 2) = х3 - x2 - 4x + 4 = 0

b) X3 - 5x2 + 7x - 3 = 0;

в) x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0

Задание 20.

Найдите многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, который имел бы корнем число

Ответ:

x4 - 10x2 + 1

Сократите дроби (21—26):

Задание 21.

Решение:

Покажем на этом примере способ отыскания общих множителей (общих делителей) двух многочленов, основанный на алгоритме Евклида деления с остатком. Если М(х) = Q(x) • N(x) + R(х), то остаток R(x) имеет те же общие делители, что и многочлены М(х) и N(x), но его степень строго меньше степени делителя. Затем делим делитель N(x) на R(x) и т. д. В данном случае:



Таким образом, общий делитель исходных многочленов (с точностью до числового множителя) равен

2 - 2х + 1) = (х - 1)2.

Теперь получаем



Как всякий общий способ, такой способ сокращения дроби достаточно громоздок. Иногда можно сократить выкладки, разложив многочлен на множители.

Ответ:

Задание 22.

Ответ:

Задание 23.

Ответ:

Задание 24.

Решение:

Покажем способ сокращения дроби в том случае, если известно разложение одного из многочленов на множители. Легко видеть, что

3 - х2 + х - 2 = 2 (х3 - 1) - х(х - 1) = 2(х - 1) (х2 + х + 1) - х(х - 1) = (х - 1) (2х2 + х + 2)

Используя теорему Безу, убеждаемся, что числитель не делится на (х -1). Поэтому дробь будет сократимой только в том случае, если числитель разделится без остатка на (2х2 + х + 2), так как этот многочлен далее на множители не раскладывается. Имеем

4 + х3 + 4х2 + х + 2 = (х2 + 1)(2х2 + х + 2)

Ответ:

Задание 25.

Ответ:

Задание 26.

Ответ:

Дробь несократима.

 

Решите следующие уравнения (27—36), предварительно подобрав один или несколько корней многочлена. Запишите разложения входящих в эти уравнения многочленов на множители:

Задание 27.

X3 - 8х2 + 13х - 6 = 0

Решение:

Попытаемся найти целочисленные решения этого уравнения. Все такие решения являются делителями свободного члена, т. е. числа 6.

Это числа — ±1; +2; ±3; ±6. Находим, что х = 1 - корень этого уравнения. Разделив многочлен

х3 - 8х2 + 13х - 6 на (х - 1), получим

х3 - 8х2 + 13х - 6 = (х2 -7х + 6)(х-1) = 0

Решив квадратное уравнение х2 - 7х + 6 = 0, находим остальные решения исходного уравнения.

Ответ:

{1; 1; 6}

Задание 28.

х3 - 4х2 + х + 6 = 0

Ответ:

{-1; 2; 3}; х3 - 4х2 + х + 6 = (х + 1)(х - 2)(х - 3)

Задание 29.

x4 - Зх3 - 8х2 + 12x- + 16 = 0

Ответ:

{-1; ±2; 4}; х4 - Зх3 - 8х2 + 12х + 16 = (х + 1)(х + 2)(х - 2)(х - 4)

Задание 30.

x4 - Зх3 + х2 + Зх - 2 = 0

Ответ:
{-1; 1; 1; 2}; х4 - Зх3+ х2 + Зх - 2 = (х + 1)(х - 2)(х -1)2

Задание 31.

x4 - 2x3 + 5х2 - 8х + 4 = 0

Ответ:

(1; 1}; х4 - 2х3 + 5х2 - 8х + 4 = (х - 1)22 + 4)

Задание 32.

х4 - 8х3 + 48х2 - 128х + 87 = 0

Ответ:

{1; 3}; х4 - 8х3 + 48х2 - 128х; + 87 = (х - 1)(х - 3)(х2 - 4х + 29)

Задание 33.

Зх3 - 4x2 + 5х - 18 = 0

Ответ:

{2}; Зх3 - 4х2 + bх - 18 = (х - 2)(3х2 + 2х + 9)

Задание 34.

27x3 + 9x2 - 48x + 20 = 0

Решение:

Сделаем замену переменой, полагая t = Зх. Получим уравнение

t3 + t2 - 16t + 20 = 0, у которого будем искать целочисленные решения. Ими могут быть только числа:

±1; ±2; +4; ±5; ±10; ±20. Подбираем корень t = 2. Разделив многочлен

t3 + t2 - 16 + 20 на (t - 2), получим

t3 + t2 - 16 + 20 = (t - 2)(t2 +3t - 10) = (t - 2)2(t + 5).

Таким образом, t1 = t2 = 2; t3 = -5, откуда

Ответ:

Задание 35.

Зx4 + 5x3 - 5х2 - 5х + 2 = 0

Ответ:

Задание 36.

(х + 1)3 + (2х - З)3 = 27х3 - 8

Указание:

Разложите правую и левую части уравнения на множители.

Ответ:

Примечание. Другие уравнения высших порядков, сводящиеся к квадратным с помощью замены переменной, будут рассмотрены ниже.

Решите следующие линейные системы (37—46). Для систем 37—40 приведите графическую иллюстрацию, построив соответствующие этим уравнениям прямые.

Задание 37.

Ответ:

(4; -2)

Задание 38.

Ответ:

(4; 1)

Задание 39.

Ответ:

(с; 2 - Зс), где с € R.

Задание 40.

Ответ:

Задание 41.

Решение:

Данную систему можно легко решить подстановкой, выразив какое-либо неизвестное, например х, из первого уравнения и подставив это выражение в два других уравнения. Однако на этом примере мы приведем общий метод решения систем линейных уравнений, называемый методом Гаусса. Этот метод основан на том, что система перейдет в равносильную, если любое уравнение системы заменить суммой этого уравнения и любого другого уравнения системы, умноженного на любое число. Равносильность системы не нарушается и при перестановке местами любых двух уравнений. Заменив второе уравнение системы его суммой с первым уравнением, умноженным на ( -1), а третье уравнение — его суммой с первым, умноженным на ( -2), получим следующую, равносильную исходной, систему уравнений:



Далее мы для удобства умножили второе уравнение на

Затем заменили третье уравнение его суммой со вторым уравнением, умноженным на ( -1). Последняя из выписанных систем — система треугольного вида, равносильна исходной, но легко решается. Получаем: z = 2, из второго уравнения следует, что у = 0, а тогда из первого — что х = 1.

Ответ:

(1; 0; 2)

Задание 42.

Ответ:

(1; 1; 0)

Задание 43.

Ответ:

(1; 2; 1)

Задание 44.

Решение:

Снова применим метод Гаусса. Получаем системы:



Мы видим, что последнее уравнение обратилось в тождество (0 = 0), т. е. оказалось следствием первых двух. Если теперь положить z = с, где с € R — любое число, то переменные х и у находятся однозначно.

Получаем: х = 5 - 2с; у = 2с - 4; z = с, т. е. система имеет бесконечно много решений, но все они выражаются указанным образом.

Ответ:

(5 - 2с; 2с - 4; с), с € R

Задание 45.

Ответ:

(2с - 1; с + 1; с), с € R

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

Найдите, при каких а совместна система:


Решение б):

Система несовместна только в том случае, если

откуда а = -2. Геометрически указанное условие означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, но не совпадают. При всех других значениях а система совместна.

Ответ:

а) а € R \ { -1}

b) a € R \ {-2}

Задание 48.

При каких b не имеет решений система:


Решение б).

Если

то система совместна (в этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, не параллельны). Следовательно, система может оказаться несовместной только при

или

 

Подставляя эти значения в систему,получаем:



Первая из систем, очевидно, совместна, а вторая несовместна.

Ответ:

а) b = -3

b)

Задание 49.

Найдите все а, при которых решения системы



удовлетворяют условиям х > 0; у > 0.

Решение:

Решив данную систему, находим х = 5а - 140, у = 60 - 2а. Теперь из системы 5а - 140 > 0, 60 - 2а > 0, получаем, что 28 < а < 30.

Ответ:

а € (28; 30)

Задание 50.

Найдите все а, при которых решения системы



удовлетворяют условиям: х < 0; у < 0.

Ответ:

а €(-12; -10)

Задание 51.

Найдите а и b, при которых система уравнений



имеет единственное решение х = 1, у = 1.

Ответ:

а = 1, b = -1 или а = -1, b = 1

Задание 52.

Числа а, b и с таковы, что система



имеет бесконечно много решений, причем х = 1, у = 3 — одно из них. Найдите числа a, b и с.

Ответ:

а = 0, b = 0, с = 2,25 или а = 2, b = -1, с = 1

Задание 53.

Найдите многочлен третьей степени, который при делении на х дает в остатке 1, при делении на (х - 2) — в остатке 3, а на (х2 - 1) делится без остатка.

Решение:

Искомый многочлен имеет вид

Р(х) = (ах + b)(х2 - 1).

Используя теорему Везу, получаем



откуда а = 1, b = -1. Итак, Р(х) = (х - 1)(х2 - 1) = х3 - х2 - х + 1.

Ответ:

х3 - х2 - х + 1

Задание 54.

Найдите все целые числа а и b, для которых один из корней уравнения

Зх3 + ах2 + bх + 12 = 0 равен

Решение:

Подставим число

в уравнение и сгруппируем члены с множителем

Получим

Так как а и b — целые числа, то это возможно только в том случае, если



Ответ:

(-12; 6)

 

• В отличие от систем линейных уравнений общего метода решения нелинейных систем не существует. Можно указать лишь те или иные приемы решения некоторых классов таких систем. Наиболее просто дело обстоит в том случае, если одно или несколько уравнений данной системы являются линейными. В этом случае выражаем часть переменных через другие и выполняем их подстановку в оставшиеся уравнения.

Решите системы (55—66):

Задание 55.

Ответ:

{(5; 3)}

Задание 56.

Ответ:

{(4; 5); (5; 4)}

Задание 57.

Ответ:

{(3; 2); (2; 3)}

Задание 58.

Решение:

Подставляя у = 5 - х в первое уравнение, получаем квадратное уравнение

х2 - 7х +6 = 0. Отсюда х1 = 1; у1 = 4; х2 = 6; у2 = -1.

Ответ:

{(1; 4)}; (6;-1)}


Задание 59.

Ответ:

{(5; 1)}

Задание 60.

Решение:

Преобразуя левую часть первого уравнения системы, получим



Значит, данная система равносильна следующей:



Отметим, что важно не потерять условие у2 # 16. В самом деле, решив систему из первых двух уравнений, находим х = -1, у = -4. Следовательно, исходная система решений не имеет.

Ответ:

Задание 61.

Решение:

Разложим левую часть второго уравнения на множители:

х3 + у3 = (х + у)(х2 - ху + у2). Далее, учитывая, что х + у - 5, приходим к системе



откуда x1 = 2, у1 = 3, а Х2 = 3, у2 = 2. Заметим, что данная система относится к классу симметричных систем, для которых удобна замена х + у = и, ху = V, что и проявилось при решении (см. задачи 67—80).

Ответ:

{(2; 3); (3; 2)}

Задание 62.

Ответ:

{(2; 1);(-1;-2)}

Задание 63.

Указание:

Можно воспользоваться формулой возведения в четвертую степень:

(а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4ab3 + b4.

Ответ:

{(3; 2); (-2; -3)}

Задание 64.

Решение:

Здесь можно использовать подстановку х = 6 - у. Мы приведем другой способ. Второе уравнение разложим на множители:

х4 + ху2 - 2х2 = (у2 + 2х)(у2 - х)

Поэтому исходная система равносильна совокупности систем:



Первая из этих систем не имеет решений, а вторая дает {(9; -3); (4; 2)}.

Ответ:

{(9; -3); (4, 2)}

Задание 65.

Указание:

Подставьте выражения

во второе уравнение.

Ответ:

{(12; 6; 4); (-12; -6; -4)}

Задание 66.

Решение:

Умножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым, имеем z = 5x - 11, а тогда у = 2х - 3. Подставим эти выражения в третье уравнение и получим квадратное уравнение для вычисления переменной х:



Теперь находим решения системы.

Ответ:

 

• Система называется симметричной относительно переменных х и у, если она не меняется при замене х на у, аунах. Симметричная система упрощается, если сделать подстановку

u = х + у; v = ху.

Решите симметричные системы (67—80):

Задание 67.

Решение:

Системы 67—80 — симметричные. Если это система двух уравнений с двумя переменными, то рекомендуется сделать замену, полагая u = х + у, v = ху и используя равенство

x2 + у2 = (х + у)2 -- 2ху = u2 - 2v

Для данной системы имеем



Отсюда

а тогда

Теперь решаем системы:

Первая система имеет решения {(1; 2); (2; 1)}, а вторая решений не имеет.

Ответ:

{(1; 2); (2; 1)}

Задание 68.

Ответ:

{(1; 2); (2; 1)}

Задание 69.

Ответ:

{(6; 9); (9; 6)}

Задание 70.

Ответ:

{(3; 4); (4; 3)}

Задание 71.

Решение:

Воспользуемся тем, что х3 + у3 =(х + у)3 - 3(х + у)ху.

Сделав замену х + у = u, ху = v, получим X3 + у3 = u3 - Зuv, а исходная система примет вид



Решив последнюю систему, находим х1 = 4; у1 = 1; Х2 = 1; у2 = 4.

Ответ:

{(4; 1); (1; 4)}

Задание 72.

Указание:

Положите х + у = и, ху = и и используйте равенство х3 + у3 = u3 - Зuv.

Ответ:

{(3; -2); (-2; 3)}

Задание 73.

Ответ:

{(1,2); (2, 1)}

Задание 74.

Решение:

Так как система симметричная, то получаем х + у = u, ху = V. Теперь используем равенство

х4 + у4 - (х2 + у2)2 - 2х2у2 = [(х + у)2 - 2ху]2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2.

Исходная система примет вид



Полагая v2 = t, получим квадратное уравнение

2t2 + 97t - 6084 = 0, откуда t1 = 36; t2 = -134,5 (постороннее решение).

Теперь находим v1 = 6; v2 = -6, откуда u2 = 25 (при v = 6); u2 = -25 (при v = -6).

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем



Ответ:

{(3; 2)}, (2; 3), (-3; -2), (-2; -3)}

Задание 75.

Ответ:

{(3; 2), (2; 3), (-3; -2), (-2; -3)}

Задание 76.

Ответ:

{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)}

Задание 77.

Решение:

Система симметрична относительно всех переменных х, у, z. Выполним замену

х + у + z = u; ху + xz + уz = v; хуz = w

используя при этом равенство х3 + у3 + z3 = u3 - Зuv + Зw.

Тогда данная система примет вид


Выразим из первого равенства z = 1 - (х + у) и подставим это выражение во второе и третье:



где теперь х + у = s; ху = t. Подставляя

в первое уравнение, получим

s3 - 2s2 - 3s = 0, откуда s1 = 0; t1 = -4; s2 = 3; t2 = 2; s3 = -1; t3 = -2.

Теперь решаем системы



а значения переменной г находим из равенства



Ответ:

{(2; -2; 1); (-2; 2; 1); (2, 1, -2); (1, 2; -2); (-2; 1; 2); (1; -2; 2)}

Задание 78.

Указание:

Учитывая, что система симметрична относительно х и у, сделайте замену х + у = u, ху = v.

Ответ:

{(1; -1; -2); (1; 2; 1); (-1; 1; -2); (-1; 2; -1); (2; 1; 1); (2; -1; -1)}

Задание 79.

Решение:

Система симметрична относительно переменных х и г. Сделав замену х + z = u, xz = v и не меняя у, получим



Решив последнее уравнение второй системы, находим у = 3, а тогда u = 10; v = 9, т. е.



Ответ:

{(1; 3; 9); (9; 3; 1)}

Задание 80.

Ответ:

{(4; 3; 6); (4; 6; 3)}

 

Решите системы 81—85, воспользовавшись однородностью левых частей уравнений этих систем:

Задание 81.

Решение:

Заметим, что у = 0 не является решением системы ни при каком значении х. Поэтому система равносильна следующей:



Мы воспользовались однородностью первого уравнения. Теперь, решив системы



получаем решения исходной системы.

Ответ:

Задание 82.

Ответ:

Задание 83.

Решение:

Умножив первое уравнение на 3, второе на 28 и сложив результаты, получим равносильную систему



Первое уравнение этой системы является однородным. Разделив на у2 обе его части (потери решений нет!) и решив полученное квадратное уравнение, имеем

откуда подстановкой находим решения данной системы.

Ответ:

Задание 84.

Ответ:

Задание 85.

Ответ:

Решите уравнения и системы, сделав подходящие замены переменных (86—93):

Задание 86.

Указание:

Сделайте замену х2 - 2х - 3 = t.

Ответ:

Задание 87.

Указание:

Сделайте замену х3 - х2 = t.

Ответ:

{-1; 2}

Задание 88.

х(х - 1)(х + 1)(х + 2) = 24

Решение:

Заметим, что (х - 1)(х + 2) = х2 + х - 2. Тогда, полагая t = х2 + х, получим уравнение

t2 - 2t - 24 = 0, откуда t1 = -4, t2 = 6.

Уравнение х2 + х = -4 решений не имеет, а х2 + х - 6 = 0 дает x1 = -3; х2 = 2.

Ответ:

{-3; 2}

Задание 89.

(х - 4)(х - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680

Указание:

Сделайте замену t = х2 - 11х.

Ответ:

{-1; 12}

Задание 90.

2 + х + 1)(2x2 + 2х + 3) = 3(1 - х - х2)

Ответ:

{-1;0}

Задание 91.

Решение:

Переписав уравнение в виде



положим

и получим t2 - 9t - 22 = 0. Отсюда t1 = -2; t2 = 11.

Теперь решаем уравнения

Первое из них не имеет решений, а второе дает

Ответ:

Задание 92.

Указание:

Сделайте замену

Ответ:

Задание 93.

(Зх2 - 7х- 2)2 + 5х2(3х2 - 7х - 2) = 24x4

Решение:

Перепишем уравнение в виде

t2 + 5x2t - 24х4 = 0, где t = Зх2 - 7х - 2,

и решим его относительно переменной t. Получим t1 = -8x2; t2 = Зх2. Теперь решаем квадратные уравнения:

Зх2 - 7х - 2 = -8х2, т. е. 11х2 - 7х - 2 = 0; Зх2 - 7х - 2 = Зх2, т. е. 7х + 2 = 0.

Ответ:

Решите биквадратные или сводящиеся к биквадратным уравнения (94—99):

Задание 94.

x4 - 19x2 + 9 = 0

Ответ:

{±3}

Задание 95.

4x4 - Зх2 - 1 = 0

Ответ:

{+1}

Задание 96.

х8 - 17х4+ 16 = 0

Указание:

Сделайте замену t = x4.

Ответ:

{±2; ±1}

Задание 97.

36х8 - 13х4 +1 = 0

Ответ:

Задание 98.

(х - 5)4 + (х - З)4 = 2

Решение:

Положим t = х - 4. Тогда исходное уравнение примет вид

(t - 1)4 + (t + 1)4 = 2, т. е. 2t4 + 12t2 = 0, t = 0.

Следовательно, решением исходного уравнения является только х = 4.

Ответ:

{4}

Задание 99.

(х + З)4 + (х - 1)4 = 82

Указание:

Сделайте замену t = х + 1.

Ответ:

{-2; 0}

Решите возвратные уравнения 100—103 (см. указания и решения к этим задачам):

Задание 100.

х4 + 5х3 + 2х2 + 5х + 1 = 0

Решение:

Уравнение является возвратным. Записав его в виде



получим для

уравнение t2 + 5t = 0, откуда t1 = 0; t2 = -5.

Теперь решаем уравнения

Первое не имеет решений, а второе дает корни

Ответ:

Задание 101.

4 - 8х3 + Зх2 - 8х + 4 = 0

Указание:

Разделите обе части уравнения на х2 и сделайте замену

Ответ:

Задание 102.

х5 + 2х4 + 2х3 + 2х2 + х = 0

Ответ:

{-1; 0}

Задание 103.

4 + Зх3 - 4х2 - 3х + 2 = 0

Указание:

Поделите обе части уравнения на х2 и сделайте замену, положив

Ответ:

 

Решите уравнения и системы уравнений (104—120):

Задание 104.

(х - З)4 + (х - 2)4 = (2х - 5)4

Решение:

Положим u = х - 3; v = х - 2. Тогда исходное уравнение примет вид

u4 + v4 = (u +v)4, т. е. 2uv(2u2 + 3uv + 2u2) = 0.

Отсюда: либо u = 0, а тогда х = 3, либо v = 0, а тогда x = 2, либо

2u2 + + Зuv + 2v2 = 0. Но последнее уравнение ненулевых решений не имеет.

Ответ:

{2, 3}

Задание 105.

(2х + 1)4 + (Зх - 1)4 = 625х4

Указание:

Положите u = 2х + 1; v = Зх - 1 и запишите уравнение в видеu4 + v4 = (u + v)4.

Далее см. решение задачи 104.

Ответ:

Задание 106.

(7х + З)4 + (2х - б)4 = (Зх + 7)4 + (6х - 2)4

Решение:

Запишем уравнение в виде

(7х + З)4 - (Зх + 7)4 = (6х - 2)4 - (2х - 6)4

и разложим обе части равенства на множители. Получим

(10х + 10)(4х - 4) [(7х + З)2 + (Зх + 7)2] = (8х - 8)(4х + 4) [(6х - 2)2 + (2х - 6)2],

откуда x1 = 1, х2 = -1, а остальные корни найдем, решив уравнение

5[(7х + З)2 + (Зх 4 7)2] = 4[(6х - 2)2 + (2х - б)2].

Подсчет показывает,



Ответ:

Задание 107.

|11 + х + у -4ху| + |х2у + ху2 - 20| = 0

Указание:

Уравнение равносильно системе

где u = ху; v = х + у.

Ответ:

Задание 108.

|2ху + у2 - 4x - Зу + 2| + |ху + Зу2 - 2x - 14у + 16| = 0

Решение:

Уравнение равносильно системе



Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2. Получим уравнение

2 - 25у + 30 = 0, откуда у = 2 или у = 3. Теперь решаем системы уравнений



Первая из этих систем справедлива при любом х € R, т. е. ее решением является множество пар чисел (с; 2), где с € R. Решение второй системы есть (-1; 3).

Ответ:

{(-1; 3); (с; 2)}; с € R

Задание 109.

Ответ:

Задание 110.

Ответ:

Задание 111.

Указание:

Положите х2у3 = u; х3у2 = v.

Ответ:

{(1; 2)}

Задание 112.

Указание:

Запишите систему в виде



откуда ху = 6, а тогда 2х - у = 1.

Ответ:

Задание 113.

Указание:

Воспользуйтесь тем, что система симметричная и сделайте замену х + у - u; ху = V.

Ответ:

{(1; 2); (2; 1)}

Задание 114.

Ответ:

Задание 115.

Указание:

Воспользуйтесь однородностью первого уравнения.

Ответ:

{(0; 0); (3; 2); ( -2; -3)}

Задание 116.

Решение:

Система симметрична относительно переменных х и у. Сделаем замену u = х + у; v = ху, учитывая,

что х2 + у2 = u2 - 2v
х3 + у3 = u(u2 - Зv).

Получим

u = Зz;
u2 -2v = 5z;
u3 - Зuv = 9z.

Подставляя в третье уравнение выражения u = Зz, u2 - 2v = 5z, имеем Зz(5z - v) = 9z.

Отсюда либо z = 0, а тогда и х = у = 0, либо v = 5z - 3.

Теперь из второго уравнения получаем 9z2 - 2(5z - 3) = 5z,

т. е.

Таким образом, приходим к системам


из которых находим все решения исходной системы.

Ответ:

((0; 0; 0); (2; 3; 1); (3; 2; 1);

Задание 117.

Ответ:

Задание 118.

Указание:

Выразите у и z через х из первых двух уравнений и подставьте в третье.

Ответ:

{(1; 0; 3); (-1; -2; 1)}

Задание 119.

Решение:

Первое уравнение системы является квадратным относительно (Зх - 2у) = t. Действительно,

2 - 12ху + 4(у2 = (Зх - 2у)2 = t2, 6х - 4у = 2t.

Таким образом, t2 + 2t + 1 = 0 <=>t = -1и система принимает вид


Ответ:

Задание 120.

Ответ:

{(1; 1);(-1;2);(3; 1); (-3;-1)}

Задание 121.

При всех а и b решите системы уравнений:

Решение а):

Прибавив к первому уравнению второе, умноженное на 3, получим



Пусть 2а + 3 # 0. Тогда система имеет единственное решение



Если 2а + 3 = 0, a (b + 3) # 0, то первое уравнение системы не выполняется ни при каких х, поскольку

0 • х всегда равно нулю и, следовательно, система не имеет решений.

Если 2а + 3 = b + 3 = 0, то первое уравнение системы выполняется при всех х, т. е. решениями системы служат любые числа х и у, связанные равенством х + у = 1.

Ответ:

при

при


при


Задание 122.

При всех а решите систему уравнений

Ответ:

при

при

Задание 123.

В зависимости от а найдите число решений системы

Ответ:

При

нет решений; при


четыре решения; при

восемь решений.

Задание 124.

При каких а система уравнений

имеет единственное решение?

Указание:

Если данное уравнение имеет единственное решение, то в этом решении значение х равно нулю (так как если пара

— решение системы, то

— тоже решение). Подставив х = 0 в систему, найдите два значения параметра а, при которых возможна единственность. Подстановкой этих значений параметра в исходную систему одно из значений можно будет отбросить.

Ответ:

а = 2

Задание 125.

При каких а система уравнений



имеет ровно два решения?

Указание:

Решив первое уравнение системы, найдите множество его решений [1; 6] U {-3; -2}. Второе уравнение имеет решения х1 = а - 4 и Х2 = а. Теперь выберите значения а, при которых X1 и х2 принадлежат множеству [1; 6] U {-3; -2}.

Ответ:

Задание 126.

Найдите все значения параметра а, при которых система



имеет решение, причем любое ее решение удовлетворяет уравнению х + у = 0.

Ответ:

а = +1

Задание 127.

Сколько различных решений в зависимости от а имеет уравнение

4 - 13х2 + 36| = а(х2 - 9)?

Решение:

Разложив выражение под знаком модуля на множители, перепишем исходное уравнение в виде

|(х2 - 9)(x2 - 4)| = а(х2 - 9)<=> |х2 - 9||х2 - 4| = а(х2 - 9).

Рассмотрим три случая:

1) если х2 - 9 = 0 т. е. х = ±3, то уравнение верно при всех а;

2) если х2 - 9 > 0, то уравнение имеет вид a = |х2 - 4|;

3) если х2 - 9 < 0 (-3 < х < 3), то a = - |x2 - 4|.

Изобразим множество этих точек на плоскости хОа.

Количество решений уравнения — это количество точек пересечения горизонтальной прямой с построенным мно жеством.

Ответ:

при

два решения; при

четыре решения; при а = -4 => пять решений; при а € (-4; 0) => шесть решений.

Задание 128.

Решите уравнение

Ответ

При

при



при

при

при